Matemática

A tábua babilônica Plimpton 322 lista ternas pitagóricas, mas os especialistas ainda discutem para que servia

Publicado em 04/10/2026 · Última alteração em 06/10/2026

Plimpton 322 é uma tábua de argila de cerca de 3.800 anos, do período paleobabilônico, com 15 linhas de números em escrita cuneiforme sexagesimal. Neugebauer e Sachs, que a publicaram em 1945, reconheceram nela ternas pitagóricas, trios de inteiros em que a² + b² = c². Mas até hoje se discute para que servia: para uns era material de ensino de escribas; para outros, uma tabela trigonométrica.

A tábua mede 12,7 por 8,8 cm, tem a borda esquerda quebrada e foi comprada em 1923 pelo editor George Plimpton ao negociante Edgar J. Banks, que disse que ela vinha de perto da cidade de Larsa, no atual Iraque. Plimpton a doou à Universidade Columbia em 1936. Pela estimativa de Eleanor Robson, foi escrita nas seis décadas anteriores à queda de Larsa para a Babilônia de Hamurabi, em 1762 a.C. Neugebauer e Sachs mostraram que as colunas centrais guardam o lado menor e a hipotenusa de triângulos retângulos, e que a primeira coluna ordena as linhas em sequência decrescente. Para Neugebauer, o escriba gerava os trios com dois parâmetros inteiros p e q. Robson propõe outra leitura, baseada em pares de recíprocos, e vê a tábua como ferramenta de professor para criar problemas. Em 2017, Daniel Mansfield e Norman Wildberger sustentaram que se trata de uma tabela trigonométrica, tese que não é consensual.

A tábua tem erros de cópia do próprio escriba

Uma conversão da tábua para o sistema decimal, publicada pela American Mathematical Society, marca cinco linhas com erros do escriba (as de número 2, 8, 9, 13 e 15). Mesmo assim, o conjunto segue uma lógica clara: a primeira coluna ordena as linhas em sequência decrescente.

O objeto

Plimpton 322 é uma tábua do tamanho de uma calculadora de bolso: 12,7 por 8,8 cm, riscada como caderno nas duas faces. O verso está em branco. Na frente, há quatro colunas e 15 linhas de números, mais legendas no topo. A coluna da direita só traz os números de 1 a 15. Falta um pedaço da borda esquerda, o que torna ambígua a leitura da primeira coluna.

As ternas pitagóricas

Na década de 1940, Otto Neugebauer, historiador da ciência antiga na Universidade Brown, e seu assistente Abraham Sachs perceberam que as colunas centrais registram o lado menor e a hipotenusa de triângulos retângulos com lados inteiros, as ternas pitagóricas. Os triângulos, ordenados pela razão da primeira coluna, vão de um ângulo de base de 45 graus até cerca de 30 graus. Os babilônios conheciam essas relações mais de mil anos antes de Pitágoras.

Material de aula, segundo Robson

Eleanor Robson, então na Universidade de Oxford, argumenta que o método de Neugebauer não explica vários traços da tábua e propõe uma leitura mais modesta. Em sua tradução do cabeçalho, a primeira coluna trata do "quadrado de apoio da diagonal do qual se arranca 1, de modo que surja o lado menor". Para ela, o autor era um bom professor, que preparava problemas sobre recíprocos e triângulos para os alunos.

A hipótese trigonométrica

Em 2017, Daniel Mansfield e Norman Wildberger, da UNSW, afirmaram que a tábua seria uma tabela trigonométrica de razões, sem ângulos, mais antiga que Hiparco em mais de mil anos. Propõem que ela tinha originalmente seis colunas e 38 linhas. A universidade a divulgou como a solução do mistério, mas a questão segue aberta: o próprio acervo do ISAW resume o debate em duas perguntas, qual cálculo produziu os números e se o texto era material de ensino ou pesquisa.

Como sabemos

O conteúdo numérico e a proveniência são bem estabelecidos; a finalidade da tábua é objeto de debate e é apresentada como tal.

Em debate: Quem a produziu e para quê: a interpretação mais clássica (Neugebauer e Sachs) vê um método de gerar ternas pitagóricas por parâmetros p e q; Eleanor Robson defende um uso escolar baseado em pares de recíprocos; e Mansfield e Wildberger propuseram em 2017 uma trigonometria de razões. O Instituto para o Estudo do Mundo Antigo (NYU) resume as duas perguntas em aberto: qual cálculo produziu os números e se era material de ensino ou prova de pesquisa.

• Estimativa: Plimpton 322 é uma tábua do período paleobabilônico (séculos XIX a XVII a.C.), possivelmente de Larsa. [1] [2]
  A datação exata é desconhecida; as fontes dão faixas ligeiramente diferentes (de 1822–1762 a.C. a séculos XIX–XVII a.C.).
• Fato estabelecido: A tábua foi comprada por George Plimpton em 1923 de Edgar J. Banks, que disse que ela viera de perto de Larsa, e foi doada à Columbia em 1936. [1] [2]
• Fato estabelecido: Mede 12,7 × 8,8 cm, tem a borda esquerda quebrada e, na frente, 15 linhas de números em quatro colunas. [1] [3]
• Fato estabelecido: Neugebauer e Sachs publicaram em 1945 a análise que reconheceu ternas pitagóricas nas colunas. [1] [2]
• Fato estabelecido: As colunas centrais registram o lado menor e a hipotenusa de triângulos retângulos, e a primeira coluna traz razões que decrescem de cima para baixo (de cerca de 1,9834 a 1,3872). [1]
• Fato estabelecido: A tábua contém erros de cópia do escriba em algumas linhas. [1]
• Interpretação: Para Robson, a tábua é um instrumento do professor para gerar problemas de triângulos retângulos e pares de recíprocos, não obra de pesquisa original. [1] [2]
• Em debate: Mansfield e Wildberger (2017) afirmam que a tábua é uma tabela trigonométrica, a mais antiga e exata conhecida, anterior a Hiparco em mais de mil anos. [3]
  É a tese dos dois autores, divulgada em 2017 pela UNSW como alternativa à visão amplamente aceita de que a tábua era material de apoio ao professor; não é consenso.
• Hipótese: Segundo Mansfield e Wildberger, a tábua teria originalmente seis colunas e 38 linhas. [3]
  Reconstrução proposta pelos autores a partir da parte quebrada; não é consenso.

Fontes

1. American Mathematical Society — Rewriting History (What's Happening in the Mathematical Sciences, vol. 5)
   consultada em 04/10/2026
2. Institute for the Study of the Ancient World, New York University — Plimpton 322, em Before Pythagoras: The Culture of Old Babylonian Mathematics
   consultada em 04/10/2026
3. UNSW Sydney — Mathematical mystery of ancient clay tablet solved
   consultada em 04/10/2026

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