Matemática

Pi é irracional e transcendente, e a precisão que a ciência usa dele é bem menor do que se imagina

Publicado em 04/10/2026 · Última alteração em 05/10/2026

Pi, a razão entre a circunferência e o diâmetro, é um número irracional, como Lambert demonstrou no século XVIII, e transcendente, como Lindemann provou em 1882. Isso encerrou a questão da quadratura do círculo com régua e compasso. Para a prática, bastam poucas casas: o JPL da NASA usa 15 decimais (3,141592653589793) na navegação interplanetária, e 37 decimais já dariam a circunferência do universo observável com erro menor que um átomo de hidrogênio.

A busca por aproximações é antiga. Os babilônios usavam 25/8 (3,125), e o papiro egípcio de Rhind, de cerca de 1650 a.C., implica um valor próximo de 3,16. Arquimedes, no século III a.C., inscreveu e circunscreveu polígonos de 96 lados em um círculo e mostrou que pi fica entre 223/71 e 22/7. Na China, Zu Chongzhi (430–501) chegou a 355/113 e à faixa entre 3,1415926 e 3,1415927. O símbolo π com esse sentido foi usado por William Jones em 1706 e difundido por Euler a partir de 1737. A irracionalidade foi provada por Lambert na década de 1760, e a transcendência por Lindemann em 1882, com base no trabalho de Hermite sobre o número e. Como pi não é raiz de nenhuma equação polinomial com coeficientes racionais, não se pode construir com régua e compasso um quadrado de área igual à de um círculo dado.

Quinze casas decimais bastam até para a Voyager 1

Segundo o JPL, para um círculo com 40 bilhões de milhas de diâmetro, aproximadamente a distância da Voyager 1, usar pi com 15 decimais dá um erro de pouco mais de 1,5 cm na circunferência. Para a Terra, o erro seria do tamanho de uma molécula.

Primeiras aproximações

Os babilônios usavam 25/8, ou 3,125. O papiro de Rhind, do Egito, de cerca de 1650 a.C., contém um método equivalente a calcular a área do círculo como a de um quadrado cujo lado é 8/9 do diâmetro, o que implica pi próximo de 3,16, ou 4 × (8/9)². São valores simples, com erro de menos de 1% em relação ao valor verdadeiro.

Polígonos e frações

Arquimedes (287–212 a.C.) deu o primeiro cálculo teórico: inscreveu e circunscreveu polígonos regulares de 96 lados e provou que pi está entre 3 10/71 e 3 1/7. Ou seja, 22/7 é um limite superior, não o valor exato. No século V, o chinês Zu Chongzhi encontrou 355/113, uma fração que acerta seis casas decimais, e limitou pi entre 3,1415926 e 3,1415927.

Irracional e transcendente

Lambert mostrou, na década de 1760, que pi é irracional: não pode ser escrito como fração de inteiros. Isso não bastava para encerrar a quadratura do círculo, porque alguns números irracionais podem ser construídos com régua e compasso. Em 1882, Lindemann provou que pi é transcendente, ou seja, não é raiz de nenhuma equação polinomial de coeficientes racionais, o que tornou a quadratura impossível.

Quantas casas bastam

Com computadores, calculam-se hoje trilhões de dígitos de pi, mas isso é um feito de cálculo, não uma necessidade física. O JPL usa 15 decimais na navegação de sondas e, segundo a agência, 37 decimais seriam suficientes para obter a circunferência do universo observável com erro do tamanho de um átomo de hidrogênio. Para um círculo do tamanho da Terra, 15 decimais dão um erro do tamanho de uma molécula.

Como sabemos

Valores históricos, provas e números de precisão conferidos em MacTutor (St Andrews) e na página do JPL; a data de Lambert foi tratada com a formulação 'década de 1760'.

• Fato estabelecido: Os babilônios usavam a aproximação 25/8 = 3,125 para pi. [1]
• Fato estabelecido: O papiro de Rhind (c. 1650 a.C.) implica um valor de cerca de 3,16 para pi (4 × (8/9)²). [1]
• Fato estabelecido: Arquimedes, com polígonos de 96 lados, mostrou que 223/71 < pi < 22/7. [1] [3]
• Fato estabelecido: Zu Chongzhi (430–501) obteve 355/113 e a faixa 3,1415926 < pi < 3,1415927. [1]
• Fato estabelecido: Lambert provou a irracionalidade de pi na década de 1760 (apresentada à Academia de Berlim em 1768, com data de 1761 também citada). [1] [4]
  As fontes citam 1761 e 1768; usa-se a formulação 'década de 1760'.
• Fato estabelecido: Lindemann provou em 1882 que pi é transcendente, o que mostrou ser impossível quadrar o círculo com régua e compasso. [1] [2]
• Fato estabelecido: William Jones usou o símbolo π nesse sentido em 1706 e Euler o adotou e difundiu em 1737. [1]
• Fato estabelecido: O JPL usa pi com 15 decimais (3,141592653589793) para navegação interplanetária. [5]
• Fato estabelecido: Com 37 decimais (38 dígitos contando o 3), calcula-se a circunferência de um círculo com o raio do universo observável com erro do tamanho do diâmetro de um átomo de hidrogênio. [5]
• Fato estabelecido: Com 15 decimais, o erro para um círculo de 40 bilhões de milhas de diâmetro seria de pouco mais de 1,5 cm. [5]
• Fato estabelecido: Computadores já calcularam trilhões de dígitos de pi. [1]

Fontes

1. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews — A history of Pi (Pi through the ages)
   consultada em 04/10/2026
2. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews — Carl Louis Ferdinand von Lindemann
   consultada em 04/10/2026
3. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews — Archimedes of Syracuse
   consultada em 04/10/2026
4. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews — Johann Heinrich Lambert
   consultada em 04/10/2026
5. NASA Jet Propulsion Laboratory — How Many Decimals of Pi Do We Really Need?
   consultada em 04/10/2026

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