Matemática

Matemáticos de Kerala, na Índia, usaram séries infinitas mais de dois séculos antes de Newton e Leibniz

Publicado em 05/10/2026 · Última alteração em 06/10/2026

Por volta de 1400, Madhava de Sangamagrama, no atual estado indiano de Kerala, já usava séries infinitas para o seno, o cosseno e o arco-tangente. Na Europa, resultados equivalentes só apareceram no século XVII, e a série do arco-tangente leva os nomes de Gregory e de Leibniz, que a obtiveram de forma independente. Os textos de Madhava se perderam, mas seus sucessores em Kerala preservaram as séries e, no século XVI, escreveram as demonstrações.

Madhava é o nome central da chamada escola de Kerala, uma tradição de astrônomos e matemáticos que trabalhou no sul da Índia entre os séculos XIV e XVI. Ele deu o passo dos procedimentos finitos da matemática antiga para o limite no infinito, núcleo da análise clássica moderna. Seus escritos originais não sobreviveram: o que sabemos vem de Nilakantha, que usou e ampliou seus resultados, e de Jyesthadeva, que os demonstrou no Yuktibhasa, escrito em malaiala, a língua de Kerala. O mundo ocidental só conheceu essa tradição quando o britânico Charles Whish publicou um artigo sobre ela, em 1834. Se as ideias chegaram à Europa, e como, é pergunta em aberto: não há manuscrito que prove a passagem.

Quem tirou a escola de Kerala do esquecimento

Charles Whish (1795–1833), administrador da Companhia das Índias Orientais no sul da Índia, juntou manuscritos em folhas de palmeira e mostrou que matemáticos de Kerala haviam chegado a soluções para π cerca de 200 anos antes dos europeus. Seu artigo saiu depois de sua morte, na Royal Asiatic Society, em Londres, onde a coleção continua guardada.

A escola de Kerala

Na segunda metade do século XIV surgiu em Kerala, no sul da Índia, uma tradição de astrônomos e matemáticos que se estendeu por cerca de três séculos. Madhava de Sangamagrama, que viveu por volta de 1340 ou 1350 até 1425, é a figura que abre a linha. Depois dele vieram Nilakantha e Jyesthadeva, que usaram, ampliaram e demonstraram seus resultados.

O que Madhava fez

Madhava obteve expansões em série infinita para o seno, o cosseno e o arco-tangente. Na Europa, séries desse tipo levam os nomes de Maclaurin, Gregory e Leibniz. Com x igual a 1, a série do arco-tangente dá uma série para π/4, e é por esse caminho que se chega a séries para π. Para os historiadores citados pela MacTutor, o passo decisivo foi tratar a passagem ao limite no infinito, em vez de se limitar a procedimentos finitos.

Como o saber chegou até nós

Os escritos de Madhava se perderam. Nilakantha concluiu o Tantrasamgraha em 1501, com 432 versos em sânscrito, e nele usou e aprimorou resultados do mestre. Jyesthadeva escreveu o Yuktibhasa em malaiala, entre c. 1500 e c. 1550. A obra se divide entre astronomia e matemática e traz as demonstrações que os autores anteriores não tinham dado, algo incomum nos textos indianos da época.

Possível transmissão à Europa

Kerala manteve contato com a China, a Arábia e, a partir do início do século XVI, com a Europa. Parte dos pesquisadores argumenta que jesuítas podem ter levado ideias matemáticas locais, apontando rotas, cronologia e semelhanças de método. Mas não há manuscrito que prove a passagem, e a visão estabelecida é que o cálculo de Kerala ficou local até Whish. É uma hipótese em debate, e o crédito a Madhava e à escola de Kerala não depende dela.

Como sabemos

Autoria e cronologia das séries estão bem documentadas, mas as fontes divergem em datas e a transmissão à Europa é hipótese em debate.

Em debate: Transmissão à Europa: parte dos pesquisadores sustenta que as ideias de Kerala podem ter chegado à Europa pelos jesuítas, no século XVI ou XVII, com base em rotas de contato, cronologia e semelhanças de método. Não há manuscrito que comprove a passagem, e a visão estabelecida é que a matemática de Kerala permaneceu local até ser divulgada por Whish. O post trata a hipótese como possível, não como fato.

Em debate: Datas: o nascimento de Madhava aparece como c. 1340 ou c. 1350, e o Yuktibhasa é datado entre c. 1500 e c. 1550, conforme a fonte.

• Estimativa: Madhava de Sangamagrama viveu por volta de 1340 (ou 1350) a 1425, em Sangamagrama, perto de Cochin, em Kerala. [1] [2]
  Datas aproximadas; a biografia da MacTutor dá nascimento em 1350, e o capítulo do projeto Pearce dá c. 1340–1425.
• Consenso científico: Por volta de 1400, Madhava obteve expansões em série infinita equivalentes às que hoje se chamam séries de Maclaurin para o seno, o cosseno e o arco-tangente. [1] [2]
  Os escritos originais se perderam; a atribuição vem de relatos de sucessores de Kerala (Nilakantha e Jyesthadeva).
• Fato estabelecido: Os escritos originais de Madhava se perderam e seus resultados foram preservados por matemáticos posteriores de Kerala, sobretudo Nilakantha e Jyesthadeva. [1] [2]
• Interpretação: Madhava deu o passo dos procedimentos finitos da matemática antiga para o tratamento da passagem ao limite no infinito, que é o núcleo da análise clássica moderna. [1]
  Avaliação dos historiadores indianos Rajagopal e Rangachari, citada pela MacTutor.
• Fato estabelecido: A série do arco-tangente de Madhava é frequentemente atribuída a Gregory e a Leibniz, que chegaram a resultados semelhantes na década de 1670. [2] [4]
• Fato estabelecido: Os resultados de Madhava com séries antecedem em mais de dois séculos as descobertas dos europeus do século XVII, incluindo Gregory e Newton. [1] [6]
  A Royal Asiatic Society fala em mais de 200 anos antes da descoberta europeia do cálculo, em meados do século XVII.
• Consenso científico: Madhava desenvolveu soluções sofisticadas para aproximar π por volta de 1400, e Whish defendeu que os indianos chegaram a elas de forma independente. [6] [4]
  A série de π/4 (1 − 1/3 + 1/5 − …) decorre do arco-tangente com x = 1; a fonte da Royal Asiatic Society descreve a contribuição de Madhava para a aproximação de π.
• Fato estabelecido: Nilakantha escreveu o Tantrasamgraha em 1501, com 432 versos em sânscrito divididos em 8 capítulos, usando e ampliando resultados de Madhava. [4] [3]
• Fato estabelecido: Jyesthadeva escreveu o Yuktibhasa em malaiala, língua de Kerala; o tratado traz demonstrações e derivações das regras, coisa incomum nos textos indianos da época, e se divide entre astronomia e matemática. [3]
• Estimativa: O Yuktibhasa foi escrito entre c. 1500 e c. 1550. [3] [4]
  A MacTutor dá c. 1501 e também c. 1550 para a obra; adotou-se a faixa.
• Fato estabelecido: Charles Whish (1795–1833) foi um administrador da Companhia das Índias Orientais que trabalhou no sul da Índia e colecionou manuscritos sânscritos em folhas de palmeira. [6]
• Fato estabelecido: O artigo de Whish sobre a quadratura do círculo e as séries de π foi publicado postumamente nos Transactions da Royal Asiatic Society em 1834, e a coleção Whish está em Londres. [6]
  Outras fontes citam 1835, data do volume impresso; a Royal Asiatic Society dá 1834.
• Fato estabelecido: Não há evidência de transmissão direta da matemática de Kerala à Europa por meio de manuscritos relevantes. [5]
• Em debate: Argumenta-se que jesuítas em Kerala podem ter sido incentivados a obter conhecimento matemático local nos séculos XVI e XVII, e que há rotas de comunicação, cronologia adequada e semelhanças de método entre Kerala e a Europa. [5]
  Hipótese defendida por parte dos pesquisadores com base em evidência circunstancial; a visão estabelecida é que o cálculo de Kerala permaneceu local até ser conhecido por Whish.
• Em debate: A coincidência independente não pode ser descartada: a transmissão é considerada possível, mas não demonstrada. [5]
  Conclusão da fonte: transmissão 'bastante possível', sem excluir a coincidência.

Fontes

1. MacTutor History of Mathematics, Universidade de St Andrews — Madhava
   consultada em 05/10/2026
2. MacTutor History of Mathematics, Universidade de St Andrews (projeto de E. Pearce) — Indian Mathematics: Redressing the balance, capítulo sobre Madhava de Sangamagrama
   consultada em 05/10/2026
3. MacTutor History of Mathematics, Universidade de St Andrews — Jyesthadeva
   consultada em 05/10/2026
4. MacTutor History of Mathematics, Universidade de St Andrews — Nilakantha
   consultada em 05/10/2026
5. MacTutor History of Mathematics, Universidade de St Andrews (projeto de E. Pearce) — Keralese mathematics: IV. Possible transmission of Keralese mathematics to Europe
   consultada em 05/10/2026
6. Royal Asiatic Society (Londres) — South Indian Sanskrit Manuscripts now catalogued online
   consultada em 05/10/2026

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