Matemática

Arquimedes: da esfera e do círculo à alavanca e ao empuxo, e as máquinas de guerra atribuídas a ele

Publicado em 11/10/2026 · Última alteração em 11/10/2026

Arquimedes, de Siracusa (c. 287–212 a.C.), provou que o volume de uma esfera é 2/3 do volume do cilindro que a envolve, limitou o valor de π entre 223/71 e 22/7 com polígonos de 96 lados e escreveu o primeiro tratado conhecido sobre corpos flutuantes. Também usou a alavanca e a balança para descobrir resultados de geometria. Das histórias famosas, a do banho e a dos espelhos incendiários são duvidosas; a das máquinas de defesa de Siracusa vem de autores antigos.

Pouco se sabe da vida dele. Arquimedes nasceu em Siracusa, na Sicília, por volta de 287 a.C., data deduzida de uma frase do bizantino João Tzetzes, do século XII, que lhe dá 75 anos. O pai, Fídias, era astrônomo; o próprio Arquimedes o cita em O contador de areia. Mantinha contato com o rei Hierão II e provavelmente esteve em Alexandria, pois enviava seus resultados a matemáticos de lá, como Conão, Dositeu e Eratóstenes. Morreu em 212 a.C., quando Roma tomou Siracusa. A biografia que seu amigo Heráclides escreveu se perdeu, e a maior parte do que se conta sobre ele vem de autores que viveram séculos depois. Por isso este texto separa o que está nas obras dele do que é tradição posterior.

A obra apagada que voltou a ser lida

O Método, em que Arquimedes explica como descobria resultados com a balança, só sobreviveu num livro de preces. Em 13 de abril de 1229 os pergaminhos do século X foram raspados e reescritos; hoje o texto de baixo é lido com imagens especiais, no Walters Art Museum.

A matemática das curvas

O núcleo da obra de Arquimedes é calcular áreas e volumes de figuras curvas. Em Sobre a esfera e o cilindro, chegou à razão de dois terços entre uma esfera e o cilindro que a envolve, resultado que quis gravado no túmulo. Em Medida do círculo, com polígonos de 96 lados, prendeu π entre 223/71 e 22/7. Em Quadratura da parábola, tratou do segmento parabólico, e em Sobre as espirais, da curva que leva o nome dele. Os resultados são provados por geometria rigorosa.

A alavanca e o empuxo

Em Sobre o equilíbrio dos planos, Arquimedes trata de centros de gravidade e das condições de equilíbrio da alavanca. Em Sobre os corpos flutuantes, parte de um postulado sobre a pressão num fluido e chega ao princípio do empuxo: um corpo mergulhado recebe uma força para cima igual ao peso do fluido que desloca. A frase 'dê-me um ponto de apoio' é uma versão tardia, de Pappus, por volta de 340 d.C., de uma ideia que Plutarco já registrava.

O Método e o palimpsesto

No Método, Arquimedes mostra como descobria teoremas pesando figuras imaginárias numa balança e só depois os provava por geometria. Esse tratado só era conhecido por citações até 1906, quando Heiberg o identificou sob as orações de um livro de 1229. O Palimpsesto de Arquimedes é também o único exemplar grego de Sobre os corpos flutuantes. Foi vendido em 1998 por US$ 2 milhões e está no Walters Art Museum desde janeiro de 1999.

Siracusa em 212 a.C.

Quando Marcelo cercou Siracusa, Políbio, Lívio e Plutarco registram engenhos de arremesso atribuídos a Arquimedes, usados na defesa. O sítio acabou em 212 a.C., com a cidade tomada e ele morto por um soldado, em versões que variam. Os espelhos incendiários, ao contrário, têm existência muito duvidosa segundo o Dictionary of Scientific Biography. Já a atribuição do 'parafuso de Arquimedes' a ele depende de Diodoro Sículo e fica como tradição.

Como sabemos

Obras, datas gerais e a história do palimpsesto estão bem documentadas; a biografia e os mitos dependem de fontes tardias, tratadas aqui com o grau devido.

Em debate: A coroa de Hierão e o grito 'Eureka' no banho. A única fonte antiga é Vitrúvio, escrevendo cerca de 200 anos depois, e Arquimedes não registra o episódio. Galileu e Chris Rorres duvidam de que o método descrito, medir o volume da coroa pela água deslocada, fosse preciso o bastante. É possível que a tradição misture a descoberta do empuxo, que está em Sobre os corpos flutuantes, com uma anedota posterior.

Em debate: Os espelhos incendiários. O verbete do Dictionary of Scientific Biography os considera de existência muito duvidosa. Não se deve apresentá-los como fato nem como invenção provada.

• Consenso científico: Arquimedes nasceu em Siracusa por volta de 287 a.C. e morreu na cidade em 212 a.C., quando os romanos a capturaram. [1] [2]
  A data de nascimento é deduzida de uma frase de Tzetzes (século XII) que diz que ele viveu 75 anos.
• Fato estabelecido: O pai de Arquimedes era o astrônomo Fídias, citado por ele em O contador de areia; um amigo, Heráclides, escreveu sua biografia, hoje perdida. [1] [2]
• Consenso científico: Ele enviava seus resultados a matemáticos de Alexandria, como Conão, Dositeu e Eratóstenes, e provavelmente esteve lá. [1] [2]
  A visita a Alexandria é quase certa, mas deduzida desse hábito, não documentada.
• Fato estabelecido: Em Sobre a esfera e o cilindro, ele obteve resultados sobre superfície e volume da esfera, incluindo a razão de dois terços entre a esfera e o cilindro que a envolve. [1] [2]
• Fato estabelecido: Em Medida do círculo, usando polígonos de 96 lados, mostrou que π está entre 223/71 e 22/7. [1]
• Fato estabelecido: Em O contador de areia, criou um sistema numérico que chega a 8 × 10^63 para contar os grãos de areia do universo. [1]
• Consenso científico: Sobre os corpos flutuantes é o primeiro tratado conhecido de hidrostática, e traz o princípio do empuxo, segundo o qual um corpo mergulhado recebe do fluido uma força para cima igual ao peso do fluido que desloca. [1] [2]
  Os textos consultados citam o princípio e o postulado inicial de pressão do fluido; o enunciado do empuxo é o clássico, não foi lido proposição a proposição.
• Fato estabelecido: O Método explica como Arquimedes descobria resultados por argumentos mecânicos (com a balança) antes de prová-los por geometria. [1] [2] [3]
• Fato estabelecido: O Método e o único exemplar grego de Sobre os corpos flutuantes chegaram a nós no Palimpsesto de Arquimedes. [2] [3] [4]
• Consenso científico: O texto de Arquimedes foi copiado na segunda metade do século X, provavelmente em Constantinopla; em 13 de abril de 1229 foi reaproveitado para um livro de preces, feito provavelmente em Jerusalém. [3]
  A data de 1229 vem de um colofão decifrado por John Lowden; o local de cópia do século X é 'provável'.
• Fato estabelecido: Johan Ludvig Heiberg identificou o manuscrito em Constantinopla em 1906, reconheceu sete tratados de Arquimedes e o fotografou. [3]
• Fato estabelecido: O manuscrito foi vendido na Christie's de Nova York em outubro de 1998 por US$ 2 milhões a um colecionador anônimo e depositado no Walters Art Museum, em Baltimore, em janeiro de 1999. [3]
• Consenso científico: Autores antigos como Políbio, Lívio e Plutarco descrevem engenhos de guerra construídos por Arquimedes para repelir o cônsul Marcelo em Siracusa. [2]
• Interpretação: Plutarco conta que Arquimedes, a pedido de Hierão II, moveu um grande navio com um sistema de polias compostas, e diz que ele teria afirmado que, com outro mundo, moveria este. [1] [2]
  É relato de Plutarco, séculos depois, e a natureza do aparelho é discutida.
• Incerto: A frase 'dê-me um ponto de apoio e moverei a Terra' aparece em Pappus de Alexandria, por volta de 340 d.C., e sua autenticidade é duvidosa. [2]
  Plutarco traz a ideia sem a forma famosa; Pappus a cita cerca de 550 anos depois da morte dele.
• Em debate: A história da coroa de Hierão e do banho vem de Vitrúvio, do século I a.C., quase 200 anos depois; Arquimedes nunca escreveu sobre o episódio, e historiadores duvidam do método descrito. [2] [5]
  Galileu e o matemático Chris Rorres duvidam do método da água deslocada; não há prova de que 'Eureka' tenha sido dito assim.
• Em debate: Os espelhos que teriam incendiado os navios romanos são um engenho de existência 'muito duvidosa'. [2]
  O verbete do Dictionary of Scientific Biography os trata assim; os testes modernos não foram lidos em fonte primária.
• Consenso científico: Arquimedes teria pedido uma esfera dentro de um cilindro sobre seu túmulo; Cícero, questor na Sicília em 75 a.C., achou uma coluna com esses sólidos, coberta de mato. [1] [2]
• Interpretação: Plutarco relata três versões da morte de Arquimedes, todas com um soldado romano; Lívio, Valério Máximo e Tzetzes também o fazem, variando nos detalhes. [1] [2]
  As versões diferem; nenhuma é testemunho direto.
• Incerto: O parafuso de Arquimedes (caracol d'água) é atribuído a ele por Diodoro Sículo, que o liga ao Egito. [1] [2]
  A atribuição é tradição de autores posteriores; não há obra dele que descreva o aparelho.
• Consenso científico: Os escritos dele não eram muito conhecidos na Antiguidade; as edições de Eutócio, no século VI, ajudaram a difundi-los. [1]

Fontes

1. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews — Archimedes of Syracuse
   consultada em 11/10/2026
2. Complete Dictionary of Scientific Biography, via MacTutor — Archimedes (Dictionary of Scientific Biography, verbete de Marshall Clagett)
   consultada em 11/10/2026
3. The Archimedes Palimpsest Project (Walters Art Museum) — History of the Archimedes Palimpsest
   consultada em 11/10/2026
4. The Archimedes Palimpsest Project (Walters Art Museum) — About the Archimedes Palimpsest
   consultada em 11/10/2026
5. Scientific American — Fact or Fiction?: Archimedes Coined the Term 'Eureka!' in the Bath
   consultada em 11/10/2026

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