Ciências da Terra

Al-Biruni calculou o raio da Terra no século XI a partir do alto de uma montanha

Publicado em 05/10/2026 · Última alteração em 06/10/2026

Num pico da Cordilheira do Sal, perto do forte de Nandana, no atual Paquistão, o sábio corásmio al-Biruni mirou o horizonte e mediu quanto ele descia abaixo da linha horizontal: 34 minutos de arco, pouco mais de meio grau. Com esse ângulo e a altura do monte, cerca de 652 côvados, calculou o raio da Terra por trigonometria. Convertido por historiadores, o resultado dá perto de 6.340 km; o raio médio medido hoje é de 6.371 km. Quanto dessa precisão foi real é debatido.

Abu Rayhan al-Biruni nasceu em 973 em Kath, na Corásmia (Khwarazm), oásis junto ao mar de Aral hoje repartido entre Uzbequistão, Cazaquistão e Turcomenistão. Em 1017, quando o sultão Mahmud de Gazni tomou a região, foi levado para a corte gaznávida, talvez como prisioneiro, e acompanhou as campanhas do sultão no noroeste da Índia. Antes, tinha tentado o método clássico: medir no chão o comprimento de um grau de meridiano, nas planícies ao norte de Dehistan, perto do mar Cáspio, mas faltou apoio. Retido em Nandana, viu um pico voltado para uma planície tão lisa quanto o mar e criou um método que, nas palavras dele, dispensava caminhar por desertos. Descreveu a observação em dois livros, o Tahdid e o Qanun al-Mas'udi.

Ele mesmo preferiu o número dos outros

Al-Biruni chegou a cerca de 56 milhas por grau de meridiano, perto das 56 2/3 milhas medidas no século IX pelas equipes do califa al-Ma'mun. Em vez de defender o próprio número, ficou com o antigo: segundo ele, o instrumento daquelas equipes era mais refinado e o trabalho, mais cuidadoso.

A geometria do método

Do alto de um monte, a linha de visada que toca o horizonte fica um pouco abaixo da horizontal. Se o ar não curvasse a luz, esse ângulo de inclinação seria igual ao ângulo, no centro da Terra, entre o monte e o ponto do horizonte. Sabendo a altura h do monte e o ângulo d, o raio sai de R = h cos d / (1 − cos d). Al-Biruni obteve a altura mirando o cume de dois pontos e mediu, do topo, uma inclinação de pouco menos de 0;35 grau, que arredondou para 0;34, ou 34 minutos de arco.

As contas

Os números aparecem em base 60, na notação sexagesimal dos astrônomos. Com a altura de 652;3,18 côvados e o cosseno de 0;34 tirado de uma tabela de senos, al-Biruni chegou a um raio de 12.851.369 côvados. Usando π = 22/7, obteve a circunferência e o comprimento de um grau: 56;5,50 milhas no Qanun al-Mas'udi, 55;53,15 milhas no Tahdid. Os dois livros registram o procedimento, segundo o capítulo de geodésia da History of Cartography e a Encyclopaedia Iranica.

Quanto ele acertou

Convertido para quilômetros, o raio de al-Biruni dá cerca de 6.340 km; o MacTutor, da Universidade de St Andrews, cita 6.339,6 km. A NASA dá 6.371 km para o raio médio da Terra, o que deixaria a diferença abaixo de 1%. A conversão, porém, depende do tamanho do côvado e da milha árabe, que não se conhece com exatidão. Com outra conversão, Amelia Sparavigna, do Politécnico de Turim, chega a uma diferença de cerca de 2% em relação ao raio de curvatura da Terra na latitude da medição.

A dúvida dos historiadores

O historiador Raymond Mercier aponta três problemas. Al-Biruni não considerou a refração, desconhecida dos astrônomos da época, que encurva a linha de visada. O pico provável, a cerca de 1,4 km de Nandana, fica uns 265 m acima da planície, não os 321,5 m dos 652 côvados. E a conta tem um erro no seno: corrigido, daria cerca de 58 milhas por grau. Para Mercier, o resultado ficou perto do valor aceito por acaso, e o ângulo de 0;34 foi provavelmente deduzido da resposta já conhecida. Outros autores tratam a medição como genuína.

Como sabemos

Método, números e textos de origem vêm do capítulo de geodésia da History of Cartography e da Encyclopaedia Iranica; a precisão é controversa e o post a apresenta como tal.

Em debate: Se a medição de Nandana foi tão precisa quanto parece. Raymond Mercier (History of Cartography, University of Chicago Press, 1992) argumenta que al-Biruni ignorou a refração, deu ao monte uma altura que não corresponde ao pico provável e errou no valor do seno, chegando perto do valor aceito por acaso; conclui que o ângulo de 0;34 foi provavelmente calculado de trás para frente. Outros autores, como S. S. H. Rizvi (1979) e Sparavigna (2013), tratam o resultado como medição genuína, atribuindo a precisão ao método e a boas tabelas de seno de origem indiana.

Em debate: A comparação com o valor moderno depende da conversão do côvado e da milha árabe: as estimativas vão de menos de 1% (contra o raio médio de 6.371 km) a cerca de 2% (contra o raio de curvatura na latitude da medição).

• Fato estabelecido: Al-Biruni nasceu em 973 em Kath, na Corásmia (Khwarazm), e morreu em Gazni por volta de 1048. [3]
  MacTutor dá 1048; Mercier (f1) cita 'c. 1051' e outras obras de referência 'c. 1050'. O texto diz 'por volta de'.
• Fato estabelecido: A Corásmia é uma região de oásis junto ao mar de Aral, hoje repartida entre Uzbequistão, Cazaquistão e Turcomenistão. [5]
• Fato estabelecido: Em 1017 Mahmud de Gazni tomou Kath, e al-Biruni partiu com ele, talvez como prisioneiro, sendo levado depois à Índia com as campanhas do sultão. [3]
• Fato estabelecido: Al-Biruni tentou antes medir um grau de meridiano nas planícies ao norte de Dehistan, perto do Cáspio, mas foi frustrado aparentemente por falta de apoio. [1]
• Fato estabelecido: Retido em Nandana, ele escolheu um pico voltado para uma planície ampla e plana e descreveu o método como algo que dispensava caminhar por desertos. [1]
• Fato estabelecido: O pico fica na Cordilheira do Sal, a sudoeste do forte de Nandana, no distrito de Jhelum, no atual Paquistão. [1] [2]
• Fato estabelecido: A observação e o método estão descritos no Tahdid e no Qanun al-Mas'udi (livro 5, capítulo 7). [1] [2]
• Fato estabelecido: Ele mediu a altura do monte mirando o cume de dois lugares e obteve 652;3,18 côvados (cerca de 652 côvados). [1]
• Fato estabelecido: Do cume, mediu a inclinação do horizonte abaixo da horizontal como pouco menos de 0;35 grau e adotou 0;34 (34 minutos de arco). [1]
• Consenso científico: Sem levar em conta a refração, o ângulo de inclinação é igual ao ângulo no centro da Terra, e o raio sai de R = h cos d / (1 − cos d). [1]
• Fato estabelecido: O cálculo de al-Biruni deu um raio de 12.851.369 côvados, com π = 22/7, e 56;5,50 milhas por grau no Qanun; no Tahdid o valor é 55;53,15 milhas por grau. [1] [2]
  Divulgações citam também 12.803.337 côvados; o texto segue a reconstrução de Mercier a partir do Qanun.
• Estimativa: Convertido para unidades modernas, o raio de al-Biruni corresponde a cerca de 6.340 km (6.339,6 km na conversão do MacTutor). [3] [5]
  A conversão depende do valor do côvado e da milha árabe, que não é conhecido com exatidão; com outra conversão, Sparavigna obtém 3.928,77 milhas inglesas, cerca de 2% acima do raio de curvatura local.
• Fato estabelecido: O raio médio volumétrico da Terra é de 6.371 km. [4]
• Em debate: A precisão do resultado é debatida: Mercier aponta que al-Biruni ignorou a refração, que a altura de 652 côvados (321,5 m, com côvado de 0,493 m) não bate com o pico provável, cerca de 265 m acima da planície, e que um erro no valor do seno o levou perto do valor aceito 'só por acaso'; corrigida a conta, daria cerca de 58 milhas por grau. [1]
  Interpretação de Raymond Mercier (History of Cartography, 1992). Mercier conclui que al-Biruni provavelmente derivou o ângulo de 0;34 da altura suposta e do comprimento do grau já conhecido; Rizvi (1979) tratou a observação como genuína. Sparavigna (f5) atribui a precisão a bons valores de seno de fontes indianas.
• Evidência forte: Os astrônomos daquela época não conheciam a refração atmosférica nas observações; com a refração, a inclinação observada a partir do pico provável seria de cerca de 0;29. [1]
• Fato estabelecido: O resultado ficou perto das 56 2/3 milhas por grau das equipes do califa al-Ma'mun, e al-Biruni aceitou o valor antigo por considerar o instrumento delas mais refinado e o trabalho mais cuidadoso. [1] [2]

Fontes

1. University of Chicago Press — Geodesy (The History of Cartography, vol. 2, livro 1, cap. 8)
   consultada em 05/10/2026
2. Encyclopaedia Iranica — BĪRŪNĪ, ABŪ RAYḤĀN iv. Geography
   consultada em 05/10/2026
3. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews — Abu Arrayhan Muhammad ibn Ahmad al-Biruni
   consultada em 05/10/2026
4. NASA Goddard Space Flight Center — Earth Fact Sheet
   consultada em 05/10/2026
5. International Journal of Sciences (Politecnico di Torino; texto no arXiv) — The Science of al-Biruni
   consultada em 05/10/2026

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